Mathématiques · 1ère année collège
La divisibilité dans ℕ
Savoir si une division tombe juste sans la poser, et reconnaître un nombre premier.
01 Multiples et diviseurs
Définition
Si la division de a par b tombe juste, sans reste, alors on dit que a est un multiple de b, et que b est un diviseur de a. On dit aussi que a est divisible par b.
Ces trois phrases décrivent la même situation : 12 est un multiple de 3, 3 est un diviseur de 12, et 12 est divisible par 3.
Exemple
Les diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12Les premiers multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60…
Un nombre a un nombre limité de diviseurs, mais une infinité de multiples.
02 Les critères de divisibilité
Ils permettent de savoir si une division tombe juste sans la poser.
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 | 134 |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 | 147 (1+4+7=12) |
| 4 | Les deux derniers chiffres forment un multiple de 4 | 316 |
| 5 | Le nombre se termine par 0 ou 5 | 245 |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 | 207 (2+0+7=9) |
| 10 | Le nombre se termine par 0 | 580 |
Le critère de 3 et de 9 surprend toujours. Pour 4 725 : la somme des chiffres vaut 4+7+2+5 = 18, qui est divisible par 3 et par 9. Donc 4 725 l'est aussi, sans avoir posé la moindre division.
03 Les nombres premiers
Définition
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Deux cas particuliers. Le nombre 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur, lui-même. Et 2 est le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2, donc ils ont au moins trois diviseurs.
À toi. Le nombre 4 725 est-il divisible par 3 ? par 5 ? par 2 ?
Par 3 : oui, car 4+7+2+5 = 18, divisible par 3.
Par 5 : oui, il se termine par 5.
Par 2 : non, il se termine par 5, donc il est impair.
✓ L'essentiel
- Multiple et diviseur
- Si a ÷ b tombe juste : a est multiple de b, b est diviseur de a.
- Critères
- 2 et 5 par le dernier chiffre ; 3 et 9 par la somme des chiffres.
- Nombre premier
- Exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- Cas particuliers
- 1 n'est pas premier ; 2 est le seul premier pair.
Les erreurs à éviter
- Confondre multiple et diviseur.
- Considérer 1 comme un nombre premier.
- Oublier d'additionner les chiffres pour le critère de 3.