Mathématiques · 1ère année collège
Triangles, quadrilatères et cercle
Les figures de base, leurs propriétés, et la façon dont elles s'emboîtent.
01 Les triangles
| Triangle | Particularité |
|---|---|
| Quelconque | Aucune particularité |
| Isocèle | Deux côtés égaux, et deux angles égaux à la base |
| Équilatéral | Trois côtés égaux, trois angles de 60° |
| Rectangle | Un angle droit |
La propriété fondamentale
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°. Cette règle permet de calculer un angle manquant dès que les deux autres sont connus.
Exemple
Un triangle a deux angles de 50° et 60°.
Troisième angle = 180 − 50 − 60 = 70°Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits. Deux angles de 90° font déjà 180°, il ne resterait rien pour le troisième. De même, un triangle ne peut avoir qu'un seul angle obtus.
02 Les quadrilatères
| Figure | Propriétés |
|---|---|
| Parallélogramme | Côtés opposés parallèles et égaux ; diagonales qui se coupent en leur milieu |
| Rectangle | Parallélogramme à quatre angles droits ; diagonales de même longueur |
| Losange | Parallélogramme à quatre côtés égaux ; diagonales perpendiculaires |
| Carré | À la fois rectangle et losange : il cumule toutes les propriétés |
Les figures s'emboîtent
Tout carré est un rectangle et un losange, donc aussi un parallélogramme. L'inverse est faux : un rectangle n'est pas forcément un carré. Retenir cet emboîtement évite bien des erreurs.
La somme des angles d'un quadrilatère vaut 360°.
03 Le cercle
Vocabulaire
Le rayon relie le centre à un point du cercle. Le diamètre traverse le cercle en passant par le centre : il vaut deux fois le rayon. Une corde relie deux points du cercle sans passer nécessairement par le centre.
Aire du disque : A = π × R²
Périmètre ou aire ? Le périmètre utilise le rayon simple et s'exprime en cm ; l'aire utilise le rayon au carré et s'exprime en cm². L'unité te dit laquelle des deux formules employer.
À toi. Un cercle a un rayon de 5 cm. Calcule son périmètre et l'aire du disque, avec π ≈ 3,14.
A = 3,14 × 5² = 3,14 × 25 = 78,5 cm²
✓ L'essentiel
- Somme des angles
- 180° dans un triangle, 360° dans un quadrilatère.
- Parallélogramme
- Côtés opposés parallèles et égaux, diagonales se coupant en leur milieu.
- Carré
- À la fois rectangle et losange.
- Cercle
- Diamètre = 2 × rayon. Périmètre 2πR, aire du disque πR².
Les erreurs à éviter
- Imaginer un triangle à deux angles droits.
- Croire qu'un rectangle est forcément un carré.
- Confondre les formules de périmètre et d'aire du cercle.