Mathématiques 2APIC
Le calcul littéral
Calculer avec des lettres pour démontrer une propriété vraie dans tous les cas. Réduire, développer, factoriser.
01 Une expression littérale
Définition
Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres. Ces lettres s'appellent des variables.
À quoi cela sert-il ? À écrire une propriété vraie pour tous les nombres, pas seulement pour ceux qu'on a testés. Le périmètre d'un carré de côté c s'écrit P = 4c : une seule formule remplace une infinité de calculs.
Le passage à démontrer. Tester une propriété sur dix exemples ne prouve rien — le onzième pourrait la contredire. Le calcul littéral permet de raisonner sur un nombre quelconque, donc sur tous à la fois. C'est le début de la démonstration en mathématiques.
02 Les conventions d'écriture
Trois habitudes d'écriture, à appliquer systématiquement.
| Au lieu de | On écrit | Pourquoi |
|---|---|---|
| 3 × x | 3x | Le signe × s'omet devant une lettre |
| x × y | xy | Idem entre deux lettres |
| 1 × x | x | Le coefficient 1 ne s'écrit pas |
| x × x | x² | On utilise la notation puissance |
| 4 × (a + 2) | 4(a + 2) | Le × s'omet devant une parenthèse |
Le signe × ne s'omet jamais entre deux nombres. Écrire 34 pour 3 × 4 serait absurde. La règle ne vaut que lorsqu'au moins une lettre ou une parenthèse est en jeu.
03 Calculer la valeur d'une expression
On remplace chaque lettre par sa valeur, en remettant les signes × qui avaient été omis, puis on applique les priorités opératoires.
Exemple — calculer A = 3x² − 5x + 2 pour x = −2
A = 3 × (−2)² − 5 × (−2) + 2A = 3 × 4 + 10 + 2
A = 12 + 10 + 2 = 24
Les parenthèses autour d'un nombre négatif sont obligatoires. Sans elles, 3 × −2² donnerait −12 au lieu de 12. Prends le réflexe d'entourer toute valeur négative au moment de la substitution.
04 Réduire une expression
Règle
Réduire, c'est écrire une expression avec le moins de termes possible, en regroupant les termes semblables : ceux qui ont exactement la même partie littérale.
5x + 3y impossible à réduire, parties littérales différentes
4x² + 3x impossible : x² et x ne sont pas semblables
L'image qui aide. 5 pommes + 3 pommes = 8 pommes. Mais 5 pommes + 3 oranges ne se regroupent pas. Les lettres se comportent exactement pareil.
À toi. Réduis B = 7a − 3b + 2a + 5b − 4a
On regroupe d'abord les termes en a, puis ceux en b. L'expression ne se réduit pas davantage.
05 Développer
Développer, c'est transformer un produit en somme, en supprimant les parenthèses.
Distributivité simple
Formule
k(a + b) = ka + kb
−2(x − 5) = −2x + 10 attention au second signe
Le facteur multiplie tous les termes. L'erreur la plus fréquente est d'écrire 3(x + 4) = 3x + 4. Il faut distribuer le 3 sur chacun des deux termes. Et quand le facteur est négatif, tous les signes de la parenthèse changent.
Double distributivité
Formule
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : quatre produits, toujours.
Exemple
(x + 3)(x − 2)= x × x + x × (−2) + 3 × x + 3 × (−2)
= x² − 2x + 3x − 6
= x² + x − 6 on réduit toujours à la fin
À toi. Développe et réduis C = (2x + 1)(x − 4)
C = 2x² − 8x + x − 4
C = 2x² − 7x − 4
06 Factoriser
Définition
Factoriser, c'est l'opération inverse de développer : transformer une somme en produit, en mettant en évidence un facteur commun.
ka + kb = k(a + b)
Exemples
5x + 5y = 5(x + y) facteur commun : 53x² + 6x = 3x(x + 2) facteur commun : 3x
x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x + 4) facteur commun : (x + 1)
Comment vérifier. Redéveloppe ton résultat : tu dois retrouver l'expression de départ. C'est une vérification gratuite, qui prend dix secondes et évite la plupart des erreurs.
| Développer | Factoriser | |
|---|---|---|
| On part de | Un produit | Une somme |
| On arrive à | Une somme | Un produit |
| Les parenthèses | Disparaissent | Apparaissent |
À toi. Factorise D = 4x² − 12x
Le facteur commun est 4x : c'est le plus grand facteur présent dans les deux termes. Vérification : 4x(x − 3) = 4x² − 12x. Correct.
✓ L'essentiel
- Expression littérale
- Une expression contenant des lettres, qui permet de raisonner sur tous les nombres à la fois.
- Écriture
- Le signe × s'omet devant une lettre ou une parenthèse, jamais entre deux nombres.
- Réduire
- Regrouper les termes ayant la même partie littérale. x et x² ne sont pas semblables.
- Développer
- k(a + b) = ka + kb, et (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Factoriser
- ka + kb = k(a + b). C'est l'inverse de développer.
- Vérifier
- Redévelopper une factorisation doit redonner l'expression de départ.