Mathématiques · 2ème année collège
Les équations du premier degré
Trouver un nombre inconnu à partir de ce que l'énoncé dit de lui. La méthode tient en cinq étapes.
01 Qu'est-ce qu'une équation ?
Définition
Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, désigné par une lettre. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de cette lettre qui rendent l'égalité vraie. Chacune s'appelle une solution.
Une équation du premier degré est une équation où l'inconnue apparaît uniquement à la puissance 1 : pas de x², pas de x sous une racine.
Vérifier qu'un nombre est solution
Le nombre 4 est-il solution de 3x − 5 = 7 ?
Membre de gauche : 3 × 4 − 5 = 12 − 5 = 7Membre de droite : 7
Les deux membres sont égaux : oui, 4 est solution.
02 Les deux règles de transformation
Résoudre consiste à isoler l'inconnue, en transformant l'équation sans changer ses solutions. Deux opérations seulement sont autorisées.
Règle 1 — addition et soustraction
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres : l'égalité reste vraie.
Règle 2 — multiplication et division
On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul : l'égalité reste vraie.
L'image de la balance. Une équation est une balance en équilibre. Tout ce que l'on fait d'un côté, il faut le faire de l'autre, sinon la balance penche. C'est la seule idée à retenir de ce chapitre.
03 Résoudre pas à pas
Exemple — résoudre 3x + 5 = 20
3x + 5 = 203x + 5 − 5 = 20 − 5 on retire 5 des deux côtés
3x = 15
3x ÷ 3 = 15 ÷ 3 on divise par 3 des deux côtés
x = 5
Vérification : 3 × 5 + 5 = 20. ✓
Exemple — inconnue des deux côtés : 5x − 3 = 2x + 9
5x − 3 = 2x + 95x − 2x − 3 = 9 on retire 2x des deux côtés
3x − 3 = 9
3x = 12
x = 4
Vérification : à gauche 5 × 4 − 3 = 17, à droite 2 × 4 + 9 = 17. ✓
La méthode générale
- Développer s'il y a des parenthèses.
- Regrouper les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre.
- Réduire chaque membre.
- Diviser par le coefficient de x.
- Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ.
Le signe qui saute. En développant 2(x − 3) = 8, on obtient 2x − 6 = 8, pas 2x − 3 = 8. Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse. C'est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre.
À toi. Résous 4(x + 2) = 3x + 11
4x − 3x = 11 − 8
x = 3
Vérification : à gauche 4 × 5 = 20, à droite 9 + 11 = 20. ✓
04 Mettre un problème en équation
C'est l'usage véritable des équations, et la partie la plus rentable en contrôle.
Méthode en quatre temps
- Choisir l'inconnue et l'écrire clairement : « Soit x le nombre de… ».
- Traduire l'énoncé en une égalité.
- Résoudre l'équation obtenue.
- Répondre par une phrase, en vérifiant que le résultat a du sens.
Exemple
Un cahier coûte 3 dirhams de plus qu'un stylo. Ensemble, ils coûtent 19 dirhams. Quel est le prix du stylo ?
Soit x le prix du stylo, en dirhams.Le cahier coûte donc x + 3.
x + (x + 3) = 19
2x + 3 = 19
2x = 16, donc x = 8
Le stylo coûte 8 dirhams et le cahier 11 dirhams. Vérification : 8 + 11 = 19. ✓
Le réflexe du bon sens. Si tu trouves un prix négatif, un âge de 200 ans ou un nombre de personnes décimal, l'équation est probablement mal posée. Relis la traduction de l'énoncé avant de rendre.
✓ L'essentiel
- Équation
- Égalité contenant une inconnue. La résoudre, c'est trouver les valeurs qui la rendent vraie.
- Règle fondamentale
- Toute opération faite sur un membre doit être faite sur l'autre.
- Méthode
- Développer, regrouper, réduire, diviser, vérifier.
- Mise en équation
- Nommer l'inconnue, traduire, résoudre, répondre par une phrase.
Les erreurs à éviter
- Oublier de multiplier tous les termes d'une parenthèse.
- Ne transformer qu'un seul membre de l'égalité.
- Sauter la vérification, alors qu'elle prend dix secondes.