Mathématiques · 2ème année collège
Les nombres rationnels
Un nouvel ensemble de nombres, qui réunit ce que tu sais déjà sur les fractions et sur les nombres relatifs. Écritures, comparaison, puis les quatre opérations.
01 Définition et notation
En 1APIC, tu as travaillé avec deux familles de nombres : les fractions, qui permettent de partager, et les nombres relatifs, qui permettent de descendre en dessous de zéro. Les nombres rationnels réunissent les deux.
Définition
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
ab où a est un entier relatif
et b un entier relatif non nul.
a s'appelle le numérateur, b le dénominateur. L'ensemble de tous les nombres rationnels se note ℚ.
Le dénominateur n'est jamais nul. Diviser par zéro n'a pas de sens :
50 n'existe pas. En revanche
05 existe et vaut 0.
Tous les nombres que tu connais sont rationnels
Chaque entier peut s'écrire comme une fraction de dénominateur 1 :
7 = 71 et −3 = −31.
Chaque décimal aussi : 2,5 = 2510.
Les ensembles de nombres s'emboîtent donc les uns dans les autres.
| Ensemble | Ce qu'il contient | Exemples |
|---|---|---|
| ℕ | Les entiers naturels | 0 ; 1 ; 17 |
| ℤ | Les entiers relatifs | −5 ; 0 ; 17 |
| 𝔻 | Les nombres décimaux | −2,5 ; 0,75 ; 17 |
| ℚ | Les nombres rationnels | −2,5 ; |
Attention au sens de lecture : tout entier naturel est un rationnel, mais l'inverse est faux.
23 est rationnel sans être décimal, puisque son écriture
décimale 0,666… ne s'arrête jamais.
À toi. Parmi ces nombres, lesquels appartiennent à ℤ ? Et à ℚ ?
−4 ;
82 ;
53 ; 0,25
Dans ℤ : −4 et 82, car
82 = 4. C'est un entier déguisé en fraction : il faut
toujours simplifier avant de conclure.
Dans ℚ : les quatre. Tous les nombres de cette liste sont rationnels.
02 Plusieurs écritures d'un même nombre
Un même nombre rationnel s'écrit d'une infinité de façons. C'est une force pour calculer, mais il faut savoir passer de l'une à l'autre.
Propriété
Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas le nombre :
ab =
a × kb × k (avec k ≠ 0)
Exemple — simplifier une fraction
23 est la forme irréductible :
on ne peut plus simplifier, car 2 et 3 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Méthode. Pour simplifier vite, cherche le plus grand diviseur commun au
numérateur et au dénominateur. Si tu ne le vois pas d'un coup, simplifie par étapes :
2436 = 1218 =
69 = 23.
Le résultat est le même.
Où placer le signe moins
Un rationnel négatif possède trois écritures équivalentes :
Et deux signes moins s'annulent :
−7−3 = 73.
Convention utile. Écris toujours le dénominateur positif et place le signe devant la fraction. Tu éviteras la moitié des erreurs de signe au moment de comparer ou d'additionner.
03 Comparer deux nombres rationnels
Cas 1 — même dénominateur positif
Règle
Si deux rationnels ont le même dénominateur positif, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.
L'erreur classique avec les négatifs. Beaucoup d'élèves écrivent
−35 > −25
parce que 3 > 2. Faux : sur la droite graduée, −3 est à gauche de −2, donc plus petit.
Le signe change tout.
Cas 2 — dénominateurs différents
On les met au même dénominateur, en cherchant un multiple commun.
Exemple — comparer 56 et 79
Un multiple commun à 6 et 9 est 18.
Comme 15 > 14, on conclut : 56 >
79.
À toi. Range dans l'ordre croissant :
−12 ;
34 ;
−58 ;
14
Dénominateur commun : 8.
On range les numérateurs : −5 < −4 < 2 < 6, d'où
−58 <
−12 <
14 <
34.
04 Somme et différence
Règle
Pour additionner ou soustraire deux rationnels, il faut le même dénominateur. On additionne alors les numérateurs, et le dénominateur ne change pas.
ac + bc =
a + bc
Le dénominateur ne s'additionne pas.
12 + 13
ne fait pas 25. Vérifie par le bon sens :
une moitié plus un tiers, c'est plus qu'une moitié, alors que
25 est plus petit que
12.
Exemple — calculer 23 + 14
Le plus petit multiple commun à 3 et 4 est 12.
11 et 12 n'ont pas de diviseur commun : le résultat est déjà irréductible.
Méthode en trois temps. Chercher le dénominateur commun, réécrire chaque fraction, puis additionner les numérateurs. Et toujours simplifier le résultat à la fin.
À toi. Calcule
56 − 34
Dénominateur commun 12 : on multiplie la première par 2, la seconde par 3.
05 Produit et quotient
Le produit
Règle
Pour multiplier deux rationnels, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Aucun dénominateur commun n'est nécessaire.
ab × cd =
a × cb × d
Exemple — simplifier avant de multiplier
On pouvait simplifier avant de calculer : le 2 du haut avec le 4 du bas,
le 9 du haut avec le 3 du bas. Il reste
11 × 32 =
32. Toujours plus rapide, et moins d'erreurs.
L'inverse d'un nombre
Définition
L'inverse de ab (avec a ≠ 0)
est ba : on échange numérateur et dénominateur.
Le produit d'un nombre par son inverse vaut toujours 1.
L'inverse de −45 est
5−4, c'est-à-dire
− 54. Le signe est conservé.
Inverse et opposé ne sont pas la même chose. L'opposé de
23 est − 23
(somme nulle). Son inverse est 32 (produit égal à 1).
Le quotient
Règle
Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse.
ab ÷ cd =
ab × dc
Exemple
À toi. Calcule
−27 ÷ 421
Plus rapide en simplifiant avant : 21 et 7 donnent 3, puis −2 et 4 donnent
− 12. Il reste
− 32.
06 Enchaîner les opérations
Les règles de priorité ne changent pas avec les rationnels.
- D'abord les parenthèses.
- Puis les multiplications et divisions, de gauche à droite.
- Enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple
A =A =
A =
Réflexe de vérification. Avant d'écrire le résultat, estime l'ordre de grandeur.
Ici 23 × 34
vaut environ 0,5, donc A vaut environ 1. Si tu trouves 7 ou 0,05, il y a une erreur quelque part.
✓ L'essentiel
- Définition
- Un rationnel s'écrit
ab avec a et b entiers relatifs, b non nul. L'ensemble se note ℚ, et ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ. - Écritures
- Multiplier ou diviser haut et bas par un même nombre non nul ne change pas la valeur. La forme irréductible est l'écriture la plus simple.
- Comparer
- Même dénominateur positif : on compare les numérateurs. Sinon, on réduit au même dénominateur d'abord.
- Additionner
- Dénominateur commun obligatoire. On additionne les numérateurs, jamais les dénominateurs.
- Multiplier
- Numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. Simplifier avant de calculer.
- Diviser
- Multiplier par l'inverse : on échange numérateur et dénominateur du diviseur.
Les trois erreurs à ne plus faire
- Additionner les dénominateurs entre eux.
- Croire que
−35 est plus grand que−25 parce que 3 > 2. - Confondre l'inverse (produit égal à 1) et l'opposé (somme égale à 0).