Mathématiques 2APIC

Les puissances

Une écriture courte pour les multiplications répétées, cinq règles de calcul à connaître, et l'écriture scientifique pour manipuler les très grands et très petits nombres.

01 Définition

Définition

Pour un nombre a et un entier n supérieur ou égal à 1 :

aⁿ = a × a × … × a (n facteurs)

a est la base, n l'exposant. On lit « a exposant n ».

2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 cinq facteurs égaux à 2

Cas particulier	Règle	Exemple
Exposant 1	a¹ = a	7¹ = 7
Exposant 0	a⁰ = 1 (a ≠ 0)	5⁰ = 1 et (−3)⁰ = 1
Exposant 2	Le « carré » de a	4² = 16
Exposant 3	Le « cube » de a	4³ = 64

Une puissance n'est pas une multiplication par l'exposant. 2⁵ vaut 32, pas 10. On multiplie 2 par lui-même cinq fois, on ne multiplie pas 2 par 5.

02 Exposant négatif

Définition

Pour a non nul et n entier positif :

a⁻ⁿ = 1aⁿ

2⁻³ = 12³ = 18

Un exposant négatif ne donne pas un résultat négatif. 2⁻³ vaut 18, un nombre positif. Le signe moins de l'exposant signifie « passer à l'inverse », pas « changer de signe ».

03 Les règles de calcul

Cinq règles, valables pour tous les exposants entiers, positifs ou négatifs.

Règle	Formule	Exemple
Produit, même base	aⁿ × a^m = a^n+m	2³ × 2⁴ = 2⁷
Quotient, même base	aⁿ ÷ a^m = a^n−m	5⁶ ÷ 5² = 5⁴
Puissance de puissance	(aⁿ)^m = a^n×m	(3²)⁴ = 3⁸
Produit, même exposant	aⁿ × bⁿ = (a×b)ⁿ	2³ × 5³ = 10³
Quotient, même exposant	aⁿ ÷ bⁿ = (a÷b)ⁿ	6⁴ ÷ 2⁴ = 3⁴

Comment ne pas les confondre. Si les bases sont identiques, on agit sur les exposants : on les additionne ou on les soustrait. Si les exposants sont identiques, on agit sur les bases : on les multiplie ou on les divise. Regarde d'abord ce qui est commun.

Il n'existe aucune règle pour la somme. 2³ + 2⁴ ne fait pas 2⁷. Il faut calculer : 8 + 16 = 24. Les règles ne concernent que la multiplication et la division.

À toi. Écris sous la forme d'une seule puissance : (2³ × 2⁵) ÷ 2⁴

2³ × 2⁵ = 2⁸ puis 2⁸ ÷ 2⁴ = 2⁴ = 16

Même base partout : on additionne puis on soustrait les exposants.

04 Signe d'une puissance

Règle

Si la base est positive, le résultat est toujours positif.

Si la base est négative : le résultat est positif quand l'exposant est pair, négatif quand l'exposant est impair.

(−2)⁴ = 16 exposant pair, résultat positif
(−2)³ = −8 exposant impair, résultat négatif

Les parenthèses changent tout. (−2)⁴ = 16 : on élève −2 à la puissance 4. Mais −2⁴ = −16 : on élève 2 à la puissance 4, puis on prend l'opposé. Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le 2.

05 Les puissances de 10

Elles servent partout en sciences, et se lisent directement.

Écriture	Valeur	Lecture
10³	1 000	1 suivi de 3 zéros
10⁶	1 000 000	1 suivi de 6 zéros
10⁻³	0,001	Le 1 est à la 3ᵉ décimale
10⁻⁶	0,000001	Le 1 est à la 6ᵉ décimale

Règle pratique

L'exposant compte les zéros pour les exposants positifs, et donne le rang du chiffre 1 après la virgule pour les exposants négatifs.

06 L'écriture scientifique

Définition

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme a × 10ⁿ où a est un décimal dont la valeur absolue est comprise entre 1 et 10 (10 exclu), et n un entier relatif.

Exemples

47 800 = 4,78 × 10⁴ la virgule recule de 4 rangs
0,00062 = 6,2 × 10⁻⁴ la virgule avance de 4 rangs

Méthode. Place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis compte de combien de rangs elle s'est déplacée. Vers la gauche, l'exposant est positif. Vers la droite, il est négatif. Vérifie ensuite l'ordre de grandeur : 47 800 est grand, l'exposant doit être positif.

À toi. Écris 0,000 003 5 et 125 000 en écriture scientifique.

0,0000035 = 3,5 × 10⁻⁶
125 000 = 1,25 × 10⁵

Dans les deux cas, le nombre a est bien compris entre 1 et 10. Écrire 35 × 10⁻⁷ serait juste comme calcul, mais ce ne serait pas l'écriture scientifique.

✓ L'essentiel

Définition: aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a. a¹ = a et a⁰ = 1.
Exposant négatif: a⁻ⁿ est l'inverse de aⁿ. Le résultat reste positif si a est positif.
Même base: On additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient.
Même exposant: On multiplie ou divise les bases.
Signe: Base négative : exposant pair donne positif, exposant impair donne négatif.
Écriture scientifique: a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10.

Faire le quiz du chapitre