Mathématiques · 2ème année collège
La pyramide et le cône
Deux solides, une même formule de volume : un tiers de la base multipliée par la hauteur.
01 La pyramide
Définition
Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles ayant tous un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide.
La hauteur est le segment qui joint le sommet à la base perpendiculairement. On la note h. La pyramide est dite régulière quand sa base est un polygone régulier et que le pied de la hauteur tombe au centre de la base.
| Base | Faces latérales | Total des faces |
|---|---|---|
| Triangle | 3 triangles | 4 |
| Carré | 4 triangles | 5 |
| Hexagone | 6 triangles | 7 |
Hauteur et arête ne sont pas la même chose. L'arête latérale relie le sommet à un coin de la base, en oblique. La hauteur descend à la verticale jusqu'à la base. L'arête est toujours plus longue que la hauteur, et c'est la hauteur qui entre dans le calcul du volume.
02 Le cône de révolution
Définition
Un cône de révolution s'obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit. Sa base est un disque et sa surface latérale est courbe.
On y retrouve le rayon de la base r, la hauteur h, et la génératrice, qui relie le sommet au bord du disque. Ces trois longueurs forment un triangle rectangle : Pythagore permet de calculer la troisième quand on en connaît deux.
Exemple
Un cône a pour rayon 3 cm et pour hauteur 4 cm. Quelle est sa génératrice g ?
g² = r² + h² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25g = 5 cm
03 Calculer les volumes
Les deux formules
Pyramide : V = 13 × B × h
Cône : V = 13 × π × r² × h
B désigne l'aire de la base, h la hauteur.
D'où vient le tiers ? Une pyramide remplie de sable vide exactement trois fois dans un prisme de même base et de même hauteur. L'expérience se fait en classe avec deux récipients transparents, et l'élève retient la formule pour de bon.
Exemple — pyramide à base carrée
Base carrée de 6 cm de côté, hauteur 10 cm.
B = 6 × 6 = 36 cm²V =
Exemple — cône
Rayon 3 cm, hauteur 7 cm. On prend π ≈ 3,14.
V =V =
Deux oublis classiques. Oublier le tiers, ce qui triple le résultat. Et oublier de mettre le rayon au carré. Vérifie aussi l'unité : un volume s'exprime en cm³ ou m³, jamais en cm².
À toi. Une pyramide a une base rectangulaire de 5 cm sur 4 cm et une hauteur de 9 cm. Calcule son volume.
V =
✓ L'essentiel
- Pyramide
- Base polygonale, faces latérales triangulaires réunies en un sommet.
- Cône de révolution
- Base circulaire, surface latérale courbe, obtenu par rotation d'un triangle rectangle.
- Hauteur
- Segment perpendiculaire du sommet à la base. À ne pas confondre avec l'arête ou la génératrice.
- Volume
- Un tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur, dans les deux cas.
- Relation dans le cône
- g² = r² + h², par le théorème de Pythagore.
Les erreurs à éviter
- Oublier le facteur un tiers.
- Utiliser la génératrice à la place de la hauteur dans la formule du volume.
- Donner un volume en cm² au lieu de cm³.