Mathématiques · 2ème année collège
Le théorème de Pythagore
Calculer une longueur dans un triangle rectangle, et démontrer qu'un angle est droit. Deux usages, deux méthodes à ne pas confondre.
01 Le vocabulaire du triangle rectangle
Le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle. Encore faut-il nommer correctement ses côtés.
Définition
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le côté le plus long des trois.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors l'angle droit se trouve au sommet A, et l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas A, c'est-à-dire [BC].
L'erreur qui coûte le plus de points. Beaucoup d'élèves écrivent toujours « BC² = AB² + AC² » par habitude, sans regarder où se trouve l'angle droit. Si le triangle est rectangle en B, c'est [AC] l'hypoténuse, et la relation devient AC² = AB² + BC². Repère l'angle droit avant d'écrire quoi que ce soit.
02 Le théorème
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors :
BC² = AB² + AC²
Autrement dit : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Calculer l'hypoténuse
Exemple — ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm
BC² = AB² + AC²BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC = √25 = 5 cm
On calcule d'abord BC², puis on prend la racine carrée. Jamais l'inverse.
Calculer un côté de l'angle droit
Quand c'est l'hypoténuse qui est connue, la relation se réorganise par une soustraction.
Exemple — DEF rectangle en D, EF = 13 cm, DE = 5 cm
Ici l'angle droit est en D, donc l'hypoténuse est [EF].
EF² = DE² + DF²13² = 5² + DF²
169 = 25 + DF²
DF² = 169 − 25 = 144
DF = √144 = 12 cm
Vérification immédiate. L'hypoténuse doit être le côté le plus long. Si tu trouves un côté de l'angle droit plus grand que l'hypoténuse, tu as fait une addition là où il fallait une soustraction.
À toi. MNP est rectangle en N, avec MN = 8 cm et NP = 15 cm. Calcule MP.
L'angle droit est en N, donc l'hypoténuse est [MP].
MP² = MN² + NP² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289MP = √289 = 17 cm
Cohérent : 17 est bien supérieur à 8 et à 15.
03 La réciproque
Le théorème sert à calculer une longueur. Sa réciproque sert à autre chose : démontrer qu'un angle est droit.
Réciproque du théorème
Si, dans un triangle ABC, on a l'égalité BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.
Méthode en trois étapes
- Repérer le côté le plus long : c'est le seul candidat au rôle d'hypoténuse.
- Calculer séparément le carré de ce côté, puis la somme des carrés des deux autres.
- Comparer les deux résultats et conclure.
Exemple — un triangle de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm
Le plus long : 10 cm.D'une part : 10² = 100
D'autre part : 6² + 8² = 36 + 64 = 100
Les deux résultats sont égaux : le triangle est rectangle.
Exemple — un triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 7 cm
D'une part : 7² = 49D'autre part : 4² + 5² = 16 + 25 = 41
49 ≠ 41 : le triangle n'est pas rectangle.
Rédaction attendue en contrôle. Calcule les deux membres séparément, avec « d'une part » et « d'autre part ». Écrire directement « 10² = 6² + 8² » revient à supposer vraie l'égalité que tu dois justement vérifier — c'est une faute de raisonnement, même si le résultat final est juste.
04 Dans la vie réelle
Ce théorème n'est pas un exercice abstrait : c'est l'outil de base des maçons et des menuisiers.
- Vérifier un angle droit sur un chantier. On mesure 3 m sur un mur, 4 m sur l'autre, et la diagonale doit valoir exactement 5 m. Sinon, l'angle n'est pas droit.
- Calculer une diagonale. La longueur d'une échelle appuyée contre un mur, la hauteur atteinte, la distance au pied du mur forment un triangle rectangle.
- Trouver la plus courte distance. Traverser un terrain en diagonale plutôt que par deux côtés : le théorème dit exactement combien on gagne.
À toi. Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur, son pied à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
Le mur et le sol forment l'angle droit ; l'échelle est l'hypoténuse.
5² = 3² + h²25 = 9 + h²
h² = 16, donc h = 4 m
✓ L'essentiel
- Hypoténuse
- Le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long. À identifier avant tout calcul.
- Théorème
- Triangle rectangle en A : BC² = AB² + AC². Sert à calculer une longueur manquante.
- Calculer l'hypoténuse
- On additionne les carrés, puis on prend la racine carrée.
- Calculer un autre côté
- On soustrait : côté² = hypoténuse² − autre côté².
- Réciproque
- Si l'égalité est vérifiée, le triangle est rectangle. Sert à démontrer un angle droit.
Les erreurs à éviter
- Écrire la formule sans avoir repéré où se trouve l'angle droit.
- Oublier la racine carrée et donner BC² comme réponse finale.
- Dans la réciproque, écrire l'égalité d'emblée au lieu de calculer les deux membres séparément.