Mathématiques · 2ème année collège
La symétrie centrale
Un demi-tour autour d'un point : construction, propriétés, et la confusion à éviter avec la symétrie axiale.
01 Le symétrique d'un point
Définition
Le symétrique d'un point M par rapport à un point O est le point M' tel que O soit le milieu du segment [MM'].
Le point O s'appelle le centre de symétrie. La symétrie centrale correspond exactement à un demi-tour autour de O : c'est ce qu'on voit en faisant pivoter une figure d'un demi-cercle.
Construire le symétrique de M
- Tracer la demi-droite qui part de M et passe par O.
- Prolonger au-delà de O.
- Reporter la distance OM de l'autre côté : on obtient M'.
Cas particulier utile : le symétrique de O par rapport à O est O lui-même.
02 Ne pas confondre avec la symétrie axiale
| Symétrie axiale | Symétrie centrale | |
|---|---|---|
| Élément de référence | Une droite (l'axe) | Un point (le centre) |
| Transformation | Pliage, effet miroir | Demi-tour |
| Orientation | Inversée, comme dans un miroir | Conservée, la figure est retournée |
| Vue dans la nature | Un papillon | Une carte à jouer, le chiffre 8 |
Le test du calque. Décalque la figure. Pour la symétrie axiale, retourne le calque comme on tourne une page. Pour la symétrie centrale, fais-le pivoter d'un demi-tour en gardant une punaise sur le centre O, sans le retourner.
03 Ce que la symétrie conserve
Propriétés
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme et l'alignement. La figure obtenue est superposable à la figure de départ.
| Figure de départ | Son image |
|---|---|
| Un segment | Un segment de même longueur, parallèle au premier |
| Une droite | Une droite parallèle à la première |
| Un cercle | Un cercle de même rayon, centre symétrique du centre |
| Un triangle | Un triangle superposable |
Le point le plus caractéristique : l'image d'une droite lui est toujours parallèle. C'est ce qui distingue immédiatement la symétrie centrale des autres transformations.
À toi. Le triangle ABC a une aire de 24 cm². Quelle est l'aire de son symétrique A'B'C' par rapport à un point O ?
24 cm². La symétrie centrale conserve les aires : la figure image est superposable à la figure d'origine. Sa position change, ses dimensions non.
04 Figures ayant un centre de symétrie
Définition
Une figure possède un centre de symétrie O si son symétrique par rapport à O est elle-même. La figure se superpose à elle-même après un demi-tour.
| Figure | Centre de symétrie |
|---|---|
| Parallélogramme | Le point d'intersection des diagonales |
| Rectangle, losange, carré | Le point d'intersection des diagonales |
| Cercle | Son centre |
| Triangle quelconque | Aucun |
Un triangle n'a jamais de centre de symétrie, même équilatéral. Il possède des axes de symétrie, ce qui est tout autre chose. Avoir des axes n'implique pas d'avoir un centre.
✓ L'essentiel
- Symétrique d'un point
- M' tel que O soit le milieu de [MM']. C'est un demi-tour autour de O.
- Différence avec l'axiale
- Axiale : une droite, effet miroir. Centrale : un point, demi-tour.
- Conservations
- Longueurs, angles, aires, parallélisme et alignement.
- Image d'une droite
- Une droite parallèle à la droite de départ.
- Centre de symétrie
- Le parallélogramme en a un, le triangle n'en a pas.
Les erreurs à éviter
- Confondre axe et centre de symétrie.
- Croire qu'une figure symétrique change de taille : rien n'est modifié.
- Chercher un centre de symétrie à un triangle équilatéral.