Mathématiques · 2ème année collège

Le théorème de Thalès

Calculer une longueur inaccessible grâce aux proportions, et démontrer que deux droites sont parallèles.

01 Reconnaître la configuration

Les deux configurations du théorème de Thalès : le triangle emboîté, où la droite parallèle coupe les deux côtés du même côté du sommet, et la configuration papillon, où les points sont de part et d'autre du point d'intersection. Dans les deux cas, les rapports de longueurs sont égaux. — Reconnaître la configuration avant d'écrire les rapports Illustration Cahier de Sciences · image générée par IA

Le théorème de Thalès ne s'applique que dans une situation bien précise. Savoir la repérer est déjà la moitié du travail.

La configuration de base

Deux droites sécantes en un point A. Une droite (MN) coupe ces deux droites et se trouve parallèle à (BC). On obtient alors deux triangles emboîtés : AMN et ABC.

Deux figures reviennent constamment : le triangle emboîté, où M et N sont du même côté de A, et le papillon, où ils sont de part et d'autre de A. Le théorème fonctionne dans les deux cas.

Sans parallèles, pas de Thalès. Le parallélisme est l'hypothèse indispensable. S'il n'est ni donné dans l'énoncé ni démontré, le théorème ne peut pas être utilisé.

02 Le théorème

Théorème de Thalès

Si (MN) est parallèle à (BC), alors les longueurs sont proportionnelles :

AMAB = ANAC = MNBC

Comment écrire correctement les rapports. Chaque fraction se construit de la même façon : au numérateur le petit triangle, au dénominateur le grand, et toujours en partant du sommet commun A. Si tu respectes cet ordre, tu ne peux pas te tromper.

Calculer une longueur

Exemple

AM = 3 cm, AB = 9 cm, AN = 4 cm. Calculer AC.

AMAB = ANAC donc 39 = 4AC

produit en croix : 3 × AC = 9 × 4 = 36
AC = 36 ÷ 3 = 12 cm

Cohérent : AC doit être plus grand que AN, puisque le triangle ABC est l'agrandissement de AMN.

À toi. AM = 2 cm, AB = 6 cm, BC = 15 cm. Calcule MN.

AMAB = MNBC donc 26 = MN15

6 × MN = 2 × 15 = 30
MN = 5 cm

MN est bien trois fois plus petit que BC, comme AM l'est par rapport à AB.

03 Démontrer que deux droites sont parallèles

Réciproque du théorème

Si les points sont placés dans le même ordre sur les deux droites et si AMAB = ANAC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Exemple

AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7,5. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

D'une part : 25 = 0,4
D'autre part : 37,5 = 0,4
Les deux rapports sont égaux, donc (MN) est parallèle à (BC).

Comme pour Pythagore, la rédaction compte. Calcule les deux rapports séparément, puis compare. Écrire l'égalité dès la première ligne revient à supposer vrai ce que l'on doit démontrer.

04 À quoi ça sert vraiment

Thalès permet de mesurer l'inaccessible, en comparant à quelque chose de mesurable.

La hauteur d'un arbre, à partir de son ombre et de celle d'un bâton planté à côté : les rayons du soleil forment des droites parallèles.
La largeur d'une rivière, sans la traverser, en construisant deux triangles emboîtés sur la rive.
Les agrandissements et réductions : une photo agrandie conserve les proportions, c'est exactement le rapport de Thalès.

Exemple concret

Un bâton de 1 m projette une ombre de 1,5 m. Au même moment, un arbre projette une ombre de 12 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

11,5 = h12

1,5 × h = 12, donc h = 8 m

✓ L'essentiel

Condition d'application: Deux droites sécantes coupées par deux parallèles. Sans parallèles, pas de Thalès.
Théorème: AM/AB = AN/AC = MN/BC. Petit triangle au numérateur, grand au dénominateur.
Produit en croix: L'outil de calcul une fois l'égalité de rapports écrite.
Réciproque: Si deux rapports sont égaux et les points bien ordonnés, les droites sont parallèles.

Les erreurs à éviter

Mélanger les rapports : commence toujours par le sommet commun.
Appliquer le théorème sans vérifier que les droites sont parallèles.
Dans la réciproque, écrire l'égalité au lieu de calculer les deux rapports séparément.

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