Mathématiques · 3ème année collège

Développement et factorisation

Passer d'un produit à une somme, et savoir revenir en arrière. Trois formules à connaître par cœur.

01 Développer

Définition

Développer, c'est transformer un produit en une somme. On applique la distributivité :

k(a + b) = ka + kb

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemple

(x + 3)(x − 2) = x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6

On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on réduit.

Le signe moins devant une parenthèse. −2(x − 5) donne −2x + 10, et non −2x − 10. Le facteur négatif change le signe de chaque terme. C'est l'erreur la plus coûteuse de tout le chapitre.

02 Les identités remarquables

Les trois formules à connaître par cœur

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)(a − b) = a² − b²

(a + b)² n'est pas a² + b². Il manque le double produit 2ab. Vérifie avec des nombres : (2 + 3)² = 25, alors que 2² + 3² = 13. Les deux ne sont pas égaux.

Exemples

(x + 5)² = x² + 10x + 25
(3x − 2)² = 9x² − 12x + 4
(x + 4)(x − 4) = x² − 16

La troisième identité est la plus utile en calcul mental : 101 × 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 10000 − 1 = 9999.

03 Factoriser

Définition

Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en produit. Deux méthodes principales.

Méthode 1 — le facteur commun

4x² − 12x = 4x(x − 3)
4x est commun aux deux termes

Méthode 2 — reconnaître une identité

x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Comment choisir. Cherche d'abord un facteur commun : c'est le plus rapide. S'il n'y en a pas, regarde s'il s'agit d'une différence de deux carrés ou d'un carré parfait. Et vérifie toujours en développant ton résultat : tu dois retrouver l'expression de départ.

À toi. Factorise 9x² − 49, puis 2x² + 8x.

9x² − 49 = (3x)² − 7² = (3x + 7)(3x − 7)

2x² + 8x = 2x(x + 4)

Le premier est une différence de carrés, le second admet le facteur commun 2x.

✓ L'essentiel

Développer: Passer d'un produit à une somme, par distributivité.
Factoriser: Passer d'une somme à un produit, par facteur commun ou identité.
Identités remarquables: (a+b)², (a−b)² et (a+b)(a−b) = a² − b².
Vérification: Développer le résultat d'une factorisation doit redonner le départ.

Les erreurs à éviter

Écrire (a + b)² = a² + b² en oubliant le double produit.
Perdre un signe en distribuant un facteur négatif.
Oublier de chercher le facteur commun avant tout.

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