Mathématiques · 3ème année collège
Équations et inéquations du premier degré
Une règle sépare les inéquations des équations, et c'est elle qui décide de la note.
01 Résoudre une équation
Règle fondamentale
Toute opération effectuée sur un membre doit l'être sur l'autre : on peut ajouter ou soustraire un même nombre, multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
Exemple
5x − 3 = 2x + 95x − 2x = 9 + 3
3x = 12
x = 4
Vérification : à gauche 17, à droite 17. ✓
Méthode générale : développer, regrouper les x d'un côté et les nombres de l'autre, réduire, diviser par le coefficient, vérifier.
02 Les inéquations
Définition
Une inéquation compare deux expressions avec <, >, ≤ ou ≥. Résoudre, c'est trouver toutes les valeurs qui la vérifient : la solution est un intervalle, pas un nombre unique.
Les règles sont celles des équations, avec une exception capitale.
La règle qui décide de la note. Quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité. Vérifie sur un cas simple : 2 < 5 est vrai, mais en multipliant par −1 on obtient −2 > −5, et non −2 < −5.
Exemple avec inversion
−3x + 6 > 0−3x > −6
x < 2 on divise par −3, le sens s'inverse
Vérification avec x = 0 : −3(0) + 6 = 6 > 0. ✓ Et 0 < 2. ✓
On représente la solution sur une droite graduée, en hachurant la partie exclue. Le crochet est ouvert pour < et >, fermé pour ≤ et ≥.
À toi. Résous 2x + 1 ≤ 9, puis −2x > 8.
−2x > 8, donc x < −4 (inversion, on divise par −2)
03 Mettre un problème en équation
Méthode
- Choisir l'inconnue et l'écrire : « Soit x le nombre de… ».
- Traduire l'énoncé en équation ou inéquation.
- Résoudre.
- Répondre par une phrase, en vérifiant que le résultat a du sens.
Exemple
Un cahier coûte 3 dh de plus qu'un stylo. Ensemble ils coûtent 19 dh.
Soit x le prix du stylo.x + (x + 3) = 19
2x = 16, donc x = 8 dh
Le stylo coûte 8 dh et le cahier 11 dh. Vérification : 8 + 11 = 19. ✓
✓ L'essentiel
- Équation
- Une égalité à résoudre : la solution est un nombre.
- Inéquation
- Une comparaison : la solution est un intervalle de valeurs.
- Règle du signe négatif
- Multiplier ou diviser par un négatif inverse le sens de l'inégalité.
- Mise en équation
- Nommer l'inconnue, traduire, résoudre, répondre par une phrase.
Les erreurs à éviter
- Oublier d'inverser le sens après une division par un nombre négatif.
- Donner un seul nombre comme solution d'une inéquation.
- Ne transformer qu'un seul membre.