Mathématiques · 3ème année collège
Géométrie dans l'espace et statistiques
La sphère et ses deux formules, puis les outils qui résument une série de données.
01 La sphère et la boule
Deux objets distincts
La sphère est la surface : l'ensemble des points situés à une distance R du centre. La boule est le solide plein, sphère et intérieur compris.
Un ballon de football est une sphère ; une bille est une boule.
Les deux formules
Aire de la sphère : A = 4 × π × R²
Volume de la boule : V = 43 × π × R³
Exemple
Une boule de rayon 3 cm, avec π ≈ 3,14.
A = 4 × 3,14 × 3² = 4 × 3,14 × 9 ≈ 113 cm²V = (4/3) × 3,14 × 3³ = (4/3) × 3,14 × 27 ≈ 113 cm³
R au carré pour l'aire, R au cube pour le volume. Une aire s'exprime en cm², un volume en cm³. L'unité te dit quelle puissance utiliser : c'est le meilleur moyen de ne pas confondre les deux formules.
02 Résumer une série statistique
Le vocabulaire
L'effectif d'une valeur est son nombre d'apparitions. La fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total. La somme des fréquences vaut toujours 1, soit 100 %.
La moyenne pondérée
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif total.
Exemple
| Note | 8 | 12 | 15 | 18 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 8 | 6 | 3 |
Somme : (8×3) + (12×8) + (15×6) + (18×3) = 264
Moyenne = 264 / 20 = 13,2
Ne jamais additionner les notes sans les effectifs. Calculer (8+12+15+18)/4 = 13,25 revient à faire compter un élève autant que huit. La pondération est obligatoire.
03 L'étendue et la médiane
Définitions
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : elle mesure la dispersion.
La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : la moitié des valeurs lui sont inférieures, l'autre moitié supérieures.
Dans l'exemple précédent, l'étendue vaut 18 − 8 = 10.
Pourquoi la moyenne ne suffit pas. Deux classes peuvent avoir la même moyenne de 13 : l'une où toutes les notes tournent autour de 13, l'autre où la moitié a 6 et l'autre moitié 20. L'étendue révèle ce que la moyenne masque.
À toi. Sept élèves ont obtenu 5, 8, 9, 12, 14, 16 et 18. Quelle est la médiane, et quelle est l'étendue ?
La série est déjà ordonnée et compte 7 valeurs. La médiane est la 4ᵉ : 12. Trois notes sont en dessous, trois au-dessus.
Étendue = 18 − 5 = 13✓ L'essentiel
- Sphère et boule
- La surface et le solide plein.
- Aire de la sphère
- A = 4πR², en unités carrées.
- Volume de la boule
- V = (4/3)πR³, en unités cubes.
- Moyenne pondérée
- Somme des (valeur × effectif) divisée par l'effectif total.
- Étendue et médiane
- Dispersion des valeurs, et valeur qui partage la série en deux.
Les erreurs à éviter
- Confondre R² et R³ entre aire et volume.
- Oublier de pondérer par les effectifs.
- Chercher la médiane sans avoir ordonné la série.