Mathématiques · 3ème année collège
Fonctions linéaires et affines
Deux familles de droites, et une seule qui traduit vraiment une proportionnalité.
01 La fonction linéaire
Définition
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax, où a est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit exactement une situation de proportionnalité.
Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Le coefficient a en est la pente : si a > 0 la droite monte, si a < 0 elle descend.
Exemple concret
Un kilo de tomates coûte 8 dh. Le prix de x kilos est f(x) = 8x.
f(3) = 8 × 3 = 24 dh02 La fonction affine
Définition
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Le nombre a est le coefficient directeur, b l'ordonnée à l'origine.
Sa représentation est une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b). Elle ne passe par l'origine que si b = 0 — auquel cas la fonction est linéaire.
Le lien entre les deux
Toute fonction linéaire est affine, avec b = 0. L'inverse est faux : une fonction affine n'est linéaire que dans ce cas particulier.
Seule la fonction linéaire traduit une proportionnalité. Avec f(x) = 2x + 5, doubler x ne double pas f(x) : f(1) = 7 mais f(2) = 9, et non 14. Dès que b n'est pas nul, la proportionnalité disparaît.
Exemple concret
Un taxi facture 5 dh de prise en charge plus 2 dh par kilomètre : f(x) = 2x + 5.
f(10) = 2(10) + 5 = 25 dh03 Tracer et lire une droite
Méthode de tracé
Deux points suffisent à définir une droite. On calcule f(0) et f(1) — ou deux valeurs commodes — puis on place les points et on trace.
Tracer f(x) = 2x + 1
f(0) = 1 → point (0 ; 1)f(3) = 7 → point (3 ; 7)
Déterminer a à partir de deux points
a = yB − yAxB − xA
C'est la variation verticale divisée par la variation horizontale.
À toi. Une droite passe par A(1 ; 5) et B(3 ; 11). Détermine a, puis b.
En A : 5 = 3(1) + b, donc b = 2
La fonction est f(x) = 3x + 2
Vérification en B : 3(3) + 2 = 11. ✓
✓ L'essentiel
- Fonction linéaire
- f(x) = ax. Droite passant par l'origine, situation de proportionnalité.
- Fonction affine
- f(x) = ax + b. Droite coupant l'axe des ordonnées en (0 ; b).
- Coefficient directeur
- a donne l'inclinaison : positif la droite monte, négatif elle descend.
- Calculer a
- Différence des ordonnées divisée par différence des abscisses.
Les erreurs à éviter
- Croire qu'une fonction affine traduit une proportionnalité.
- Oublier b en traçant la droite.
- Inverser numérateur et dénominateur dans le calcul de a.