Mathématiques · 3ème année collège
Les racines carrées
Un nouvel outil de calcul, avec une règle pour le produit et aucune pour l'addition.
01 Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
Définition
La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a.
(√a)² = a et √(a²) = a (pour a ≥ 0)
Deux pièges à la fois. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas : √(−9) n'a pas de sens, car aucun carré n'est négatif. Et √25 vaut 5 seulement, pas ±5 : la racine carrée est toujours positive.
Les carrés parfaits à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Les reconnaître fait gagner un temps considérable.
02 Les règles de calcul
Produit et quotient
√a × √b = √(a × b)
√a√b = √ab
Il n'existe aucune règle pour l'addition. √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √(9 + 16) = √25 = 5. Ce sont deux résultats différents : √a + √b ≠ √(a + b). Ne l'invente jamais.
Exemples
√2 × √8 = √16 = 403 Simplifier une racine
Méthode
On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine, puis on le sort.
Exemple
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2√72 = √(36 × 2) = 6√2
Une fois simplifiées, des racines de même radicande s'additionnent comme des termes semblables :
3√2 + 5√2 = 8√2À toi. Simplifie √75, puis calcule √12 + √27.
√12 = 2√3 et √27 = 3√3
donc √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
Il fallait simplifier chacune avant de pouvoir les additionner.
✓ L'essentiel
- Racine carrée
- √a est le nombre positif dont le carré vaut a. Elle n'existe que pour a ≥ 0.
- Produit et quotient
- √a × √b = √(ab), et le quotient de même.
- Addition
- Aucune règle : √a + √b n'est pas √(a+b).
- Simplifier
- Extraire le plus grand carré parfait, comme √50 = 5√2.
Les erreurs à éviter
- Inventer une règle d'addition des racines.
- Écrire √25 = ±5 : la racine est toujours positive.
- Chercher la racine carrée d'un nombre négatif.