Mathématiques · 3ème année collège
Le repère dans le plan
Trois formules pour transformer la géométrie en calcul.
01 Repérer un point
Définition
Un repère du plan est formé d'une origine O et de deux axes gradués perpendiculaires. Tout point M s'y décrit par un couple (x ; y) : x est l'abscisse, y l'ordonnée.
L'ordre ne s'invente pas. On écrit toujours l'abscisse en premier : le point (3 ; 5) n'est pas le point (5 ; 3). Moyen mnémotechnique : dans l'alphabet, a vient avant o, donc l'abscisse avant l'ordonnée.
L'origine O a pour coordonnées (0 ; 0). Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle, et réciproquement.
02 Le milieu d'un segment
Formule
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), le milieu I de [AB] a pour coordonnées :
xI = xA + xB2
yI = yA + yB2
C'est simplement la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Exemple
A(1 ; 3) et B(5 ; 7).
xI = (1 + 5) / 2 = 3yI = (3 + 7) / 2 = 5
donc I(3 ; 5)
03 La distance entre deux points
Formule
AB = √[(xB − xA)² + (yB − yA)²]
D'où vient cette formule ? Ce n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore. L'écart des abscisses et l'écart des ordonnées forment les deux côtés de l'angle droit ; la distance AB est l'hypoténuse.
Exemple
A(1 ; 2) et B(4 ; 6).
AB = √[(4 − 1)² + (6 − 2)²]AB = √[9 + 16] = √25 = 5
Les carrés protègent des erreurs de signe. Peu importe l'ordre dans lequel on soustrait : (4 − 1)² et (1 − 4)² valent tous deux 9. En revanche, n'oublie jamais la racine carrée finale.
À toi. A(−1 ; 2) et B(3 ; 5). Calcule les coordonnées du milieu de [AB], puis AB.
AB = √[(3 − (−1))² + (5 − 2)²] = √[16 + 9] = √25 = 5
Attention au double signe : 3 − (−1) donne 4, pas 2.
✓ L'essentiel
- Coordonnées
- (x ; y) : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.
- Milieu
- Moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées.
- Distance
- √[(différence des x)² + (différence des y)²], c'est-à-dire Pythagore.
Les erreurs à éviter
- Inverser abscisse et ordonnée.
- Oublier la racine carrée dans le calcul de distance.
- Se tromper de signe en soustrayant un nombre négatif.