Mathématiques · 3ème année collège
Les systèmes de deux équations
Deux équations, deux inconnues, un couple solution — et deux méthodes pour y arriver.
01 Qu'est-ce qu'un système ?
Définition
Un système de deux équations à deux inconnues réunit deux équations que x et y doivent vérifier simultanément. La solution est un couple (x ; y).
Il ne suffit donc pas qu'un couple vérifie la première équation : il doit satisfaire les deux à la fois.
Vérifier un couple
Le couple (3 ; 2) est-il solution du système x + y = 5 et 2x − y = 4 ?
3 + 2 = 5 ✓2(3) − 2 = 4 ✓
Les deux équations sont vérifiées : oui, c'est la solution.
02 La méthode par substitution
Principe
On isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace dans l'autre. On obtient une équation à une seule inconnue.
Exemple
x + y = 7 et 2x + 3y = 17
De la première : y = 7 − xOn remplace : 2x + 3(7 − x) = 17
2x + 21 − 3x = 17
−x = −4, donc x = 4
puis y = 7 − 4 = 3
Solution : le couple (4 ; 3). Vérification : 4 + 3 = 7 ✓ et 8 + 9 = 17 ✓
Quand la choisir. La substitution est la plus rapide quand une inconnue a déjà un coefficient de 1, comme ici avec x + y = 7.
03 La méthode par combinaison
Principe
On multiplie les équations pour obtenir des coefficients opposés sur une inconnue, puis on additionne les deux équations : cette inconnue disparaît.
Exemple
3x + 2y = 16 et 5x − 2y = 8
Les coefficients de y sont déjà opposés. On additionne :8x = 24, donc x = 3
On remplace dans la première : 9 + 2y = 16, donc y = 3,5
Multiplier toute l'équation. Quand on multiplie une équation par un nombre, il faut multiplier les trois termes, y compris celui de droite. Oublier le second membre est l'erreur la plus fréquente de cette méthode.
À toi. Résous le système x + y = 10 et x − y = 4.
Puis 7 + y = 10, donc y = 3
Solution : (7 ; 3). Vérification : 7 + 3 = 10 ✓ et 7 − 3 = 4 ✓
04 Résoudre un problème
Exemple
Au marché, 3 kg de tomates et 2 kg d'oignons coûtent 34 dh. 5 kg de tomates et 2 kg d'oignons coûtent 50 dh. Quel est le prix du kilo de chaque légume ?
Soit x le prix du kilo de tomates et y celui des oignons.3x + 2y = 34
5x + 2y = 50
En soustrayant : 2x = 16, donc x = 8 dh
Puis 24 + 2y = 34, donc y = 5 dh
Les tomates coûtent 8 dh le kilo et les oignons 5 dh.
Le réflexe du bon sens. Un prix négatif, un âge de 200 ans ou un nombre de personnes décimal signalent une erreur de traduction. Relis l'énoncé avant de rendre.
✓ L'essentiel
- Système
- Deux équations que x et y vérifient simultanément. La solution est un couple.
- Substitution
- Isoler une inconnue, la remplacer dans l'autre équation.
- Combinaison
- Rendre les coefficients opposés, puis additionner pour éliminer une inconnue.
- Vérification
- Le couple trouvé doit satisfaire les deux équations.
Les erreurs à éviter
- Oublier de multiplier le second membre en combinaison.
- Donner une seule valeur au lieu d'un couple.
- Ne vérifier que dans une seule équation.