Mathématiques · 3ème année collège
Le théorème de Thalès
Calculer une longueur inaccessible par les proportions, et démontrer un parallélisme.
01 Le théorème
Configuration
Deux droites sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles, (MN) et (BC). On obtient deux triangles emboîtés, AMN et ABC.
Théorème de Thalès
AMAB =
ANAC =
MNBC
Chaque fraction se construit de la même façon : le petit triangle au numérateur, le grand au dénominateur, en partant toujours du sommet commun A.
La configuration existe sous deux formes : le triangle emboîté, où M et N sont du même côté de A, et le papillon, où ils sont de part et d'autre. Le théorème s'applique dans les deux.
Exemple
AM = 3 cm, AB = 9 cm, AN = 4 cm. Calculer AC.
produit en croix : 3 × AC = 36, donc AC = 12 cm
Sans parallèles, pas de Thalès. Le parallélisme est l'hypothèse indispensable. S'il n'est ni donné dans l'énoncé ni démontré auparavant, le théorème ne peut pas être invoqué.
02 La réciproque
Énoncé
Si les points sont placés dans le même ordre sur les deux droites et si
AMAB = ANAC,
alors (MN) et (BC) sont parallèles.
Exemple
AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7,5.
D'une part :D'autre part :
Les rapports sont égaux, donc (MN) // (BC).
Rédaction attendue. Calcule les deux rapports séparément, puis compare. Écrire l'égalité dès la première ligne revient à supposer vrai ce que tu dois démontrer.
À toi. AM = 4, AB = 6, BC = 15. Calcule MN.
6 × MN = 60, donc MN = 10 cm
03 Mesurer l'inaccessible
Thalès permet de calculer ce qu'on ne peut pas atteindre, en le comparant à ce qu'on peut mesurer.
La hauteur d'un arbre
Un bâton de 1 m projette une ombre de 1,5 m. Au même moment, l'arbre projette une ombre de 12 m.
1,5 × h = 12, donc h = 8 m
Les rayons du soleil étant parallèles, la configuration de Thalès s'applique.
✓ L'essentiel
- Condition
- Deux droites sécantes coupées par deux parallèles.
- Théorème
- AM/AB = AN/AC = MN/BC. Petit triangle au numérateur.
- Produit en croix
- L'outil de calcul une fois l'égalité écrite.
- Réciproque
- Rapports égaux et points bien ordonnés donnent le parallélisme.
Les erreurs à éviter
- Appliquer le théorème sans parallèles.
- Mélanger les rapports en ne partant pas du sommet commun.
- Dans la réciproque, poser l'égalité au lieu de la vérifier.