Mathématiques · 3ème année collège
La trigonométrie du triangle rectangle
Trois rapports qui relient les angles aux longueurs, et un moyen mnémotechnique pour ne plus les confondre.
01 Le vocabulaire
On travaille dans un triangle rectangle. Par rapport à un angle aigu choisi, les trois côtés portent des noms précis.
| Côté | Définition |
|---|---|
| Hypoténuse | Le côté opposé à l'angle droit, le plus long |
| Côté opposé | Face à l'angle considéré |
| Côté adjacent | Il touche l'angle considéré, sans être l'hypoténuse |
Opposé et adjacent dépendent de l'angle choisi. Dans le même triangle, si l'on passe d'un angle aigu à l'autre, les deux côtés échangent leurs rôles. L'hypoténuse, elle, ne change jamais.
02 Les trois rapports
Définitions
cos = adjacenthypoténuse
sin = opposéhypoténuse
tan = opposéadjacent
Le moyen mnémotechnique. CAH-SOH-TOA : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Écris-le en marge de ton brouillon au début de l'épreuve.
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1, puisque l'hypoténuse est le plus grand côté. Un résultat supérieur à 1 signale une erreur.
03 Calculer une longueur ou un angle
Trouver une longueur
Triangle rectangle en A, angle B = 35°, hypoténuse BC = 10 cm. Calculer AC.
AC est le côté opposé à B, donc on utilise le sinus.sin(35°) =
AC = 10 × sin(35°) ≈ 5,7 cm
Trouver un angle
Côté adjacent = 4 cm, hypoténuse = 8 cm. Calculer l'angle.
cos(x) =x = cos⁻¹(0,5) = 60°
Vérifie le mode de ta calculatrice. Elle doit être en degrés (DEG), pas en radians. En mode radian, tous tes résultats seront faux sans que rien ne le signale.
À toi. Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur, formant un angle de 60° avec le sol. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
L'échelle est l'hypoténuse ; la hauteur est le côté opposé à l'angle de 60°.
sin(60°) =h = 5 × sin(60°) ≈ 4,3 m
✓ L'essentiel
- Hypoténuse
- Opposée à l'angle droit, invariable quel que soit l'angle considéré.
- Opposé et adjacent
- Dépendent de l'angle aigu choisi.
- CAH-SOH-TOA
- Cosinus, sinus et tangente en une formule mémorisable.
- Chercher un angle
- Utiliser les touches inverses cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹.
Les erreurs à éviter
- Laisser la calculatrice en radians.
- Confondre opposé et adjacent en changeant d'angle.
- Accepter un cosinus supérieur à 1 : c'est impossible.