Mathématiques · 3ème année collège
Vecteurs et translation
Un objet mathématique sans position, et la transformation qui fait glisser toute une figure.
01 Qu'est-ce qu'un vecteur ?
Définition
Un vecteur se caractérise par trois éléments : une direction, un sens et une longueur, appelée sa norme. On le note AB surmonté d'une flèche.
Un vecteur n'a pas de position fixe. Deux flèches situées à des endroits différents représentent le même vecteur si elles ont même direction, même sens et même longueur. C'est ce qui distingue un vecteur d'un segment.
Le vecteur BA est l'opposé du vecteur AB : même direction, même longueur, mais sens contraire.
02 La translation
Définition
La translation de vecteur AB fait glisser toute figure d'un même mouvement : chaque point est déplacé de la même longueur, dans la même direction et le même sens.
Elle conserve tout : longueurs, angles, aires, parallélisme et alignement. La figure image est superposable à l'originale, et elle garde son orientation — contrairement à la symétrie axiale, qui la retourne comme un miroir.
| Transformation | Élément de référence | Orientation |
|---|---|---|
| Translation | Un vecteur | Conservée |
| Symétrie centrale | Un point | Conservée, figure retournée d'un demi-tour |
| Symétrie axiale | Une droite | Inversée, effet miroir |
Une propriété très utile
Si M' est l'image de M par la translation de vecteur AB, alors ABM'M est un parallélogramme. C'est souvent ce qui permet de conclure dans un exercice.
03 La somme de deux vecteurs
Relation de Chasles
AB + BC = AC
Aller de A à B puis de B à C revient à aller directement de A à C.
Deux méthodes de construction graphique. Bout à bout : on place l'origine du second vecteur sur l'extrémité du premier, et la somme relie le début à la fin. Parallélogramme : on place les deux vecteurs à partir du même point, et la somme est la diagonale.
Comment retenir Chasles. Les points intermédiaires « s'annulent » : dans AB + BC, le B disparaît et il reste AC. Un simple relais où seuls comptent le départ et l'arrivée.
À toi. Simplifie AB + BC + CD.
puis AC + CD = AD
Les points intermédiaires B et C disparaissent : seuls le point de départ et le point d'arrivée subsistent.
✓ L'essentiel
- Vecteur
- Direction, sens et norme. Sa position dans le plan n'intervient pas.
- Translation
- Glissement de toute la figure selon un vecteur. Conserve tout et garde l'orientation.
- Relation de Chasles
- AB + BC = AC : les points intermédiaires s'éliminent.
- Propriété clé
- M' image de M par translation de vecteur AB donne un parallélogramme ABM'M.
Les erreurs à éviter
- Confondre vecteur et segment : le vecteur n'a pas de position fixe.
- Oublier que AB et BA sont opposés.
- Se tromper d'ordre dans Chasles : le point commun doit se suivre.